.

.

Пример 5.3. Допустим, необходимо определить вероятность того, что через три дня установится дождливая погода при условии, что сегодня облачно. Для этого необходимо определить 2-й и 3-й элементы матрицы  или

Заметим, что начальное (конечное) состояние соответствует строке (столбцу) .

Если задана целая запись прошлых состояний (в понедельник – солнечно, вторник – солнечно, среда – облачно), то вычисление вероятности того, что в субботу пойдет дождь, будет происходить таким же способом, поскольку можем игнорировать информацию обо всех днях за исключением последнего.

Пример 5.4. Модифицируем задачу: необходимо определить, какой будет вероятность наступления дождливой погоды в субботу и воскресенье. Чтобы ответить на этот вопрос, прежде обозначим через  понедельник – начальный день, и запишем формулы условных вероятностей:

Тогда получаем, что

Заметим, что в данном уравнении использовались обозначения ,  и  вместо 1, 2 и 3.

Подытожим основное правило прогнозирования на основе прошлых данных:

-       для проведения расчетов используется только последняя запись о состоянии системы, а информация о ее прошлом не берется во внимание;

-       определяется вероятность перехода в конкретное состояние в следующий момент времени;

-       на основе этой информации определяется вероятность перехода в следующий прогнозируемый момент времени;

-       процедура продолжается до тех пор, пока не достигнем интересуемого момента времени;

-       эти вероятности перемножаются.

Чтобы закрепить полученные навыки построения МВП, рассмотрим ситуацию, когда группа покупателей заходит в торговый павильон и попадает в первый отдел, из которого выйти можно только, перейдя в следующий отдел. Вход и выход из павильона блокируются (см. рис. 5.3).

Рис. 5.3. Схема допустимых путей перемещения покупателей
по торговому павильону

Пусть общее количество покупателей равно N и в определенный момент времени они распределены по всем отделам. В течение заданного периода времени общее количество не изменяется, то есть

Предположим, что в один из моментов времени известно, что из покупателей во втором отделе  часть планирует остаться в нем, другая часть – вернуться в первый отдел, а остальные – перейти в третий. При этом не рассматриваем возможность перехода в четвертую комнату, минуя третью. Аналогично известны намерения покупателей, находящихся в данный момент в остальных отделах.

Тогда введем  – вероятность перехода людей из -го отдела в -й отдел. Спрогнозируем рассредоточение покупателей по торговому павильону за один период времени, позволяющий осуществить лишь один переход. Система уравнений имеет вид

 
,

 или в матричном виде

При этом

Принимая величину

получаем

Пусть торговый павильон имеет 5 отделов, и выход из него возможен только через пятый отдел (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Схема допустимых путей перемещения покупателей по торговому павильону с пятью отделами

 

Тогда переходы из отдела в отдел описываются следующим уравнением

Экономическим примером применения цепей Маркова может служить прогнозирование переходов клиентов от одного брэнда к другому на определенном рыночном сегменте или в розничном торговом предприятии. В данном случае в начальный момент времени известны объемы спроса на каждый брэнд и в результате опроса определены вероятности перехода от одного брэнда к другому.