Главная » Статьи » Студентам » Имитационное моделирование

5.1 Введение в теорию марковских цепей (окончание)

   Определение 4. Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени  вероятность любого состояния системы при  зависит только от ее состояния в момент  и не зависит от того, как и когда система перешла в него.
  Каждому переходу из одного состояния в другое – соответствует вероятность  – условная вероятность перехода системы на -м шаге в состояние  при условии, что на предыдущем ()-м шаге система находилась в состоянии .

Отметим, что в общем одношаговая матрица вероятностей переходов, определяемая как , может зависеть от . Например, состояние погоды одного дня зависит от сезона года, или покупатель может запоминать свой путь по торговому павильону. Тем не менее, процесс от этого не становится немарковским.

Таким образом, марковская цепь может быть однородной, если вероятности переходов не зависят от номера шага, то есть

.

Если вероятности переходов меняются от шага к шагу, марковская цепь называется неоднородной.

Предположим, имеется конечная марковская цепь, в которой число различных состояний не превышает трех. Следовательно, МВП имеет вид

.

Тогда

.

Пример 5.3. Допустим, необходимо определить вероятность того, что через три дня установится дождливая погода при условии, что сегодня облачно. Для этого необходимо определить 2-й и 3-й элементы матрицы  или

.

Заметим, что начальное (конечное) состояние соответствует строке (столбцу) .

Если задана целая запись прошлых состояний (в понедельник – солнечно, вторник – солнечно, среда – облачно), то вычисление вероятности того, что в субботу пойдет дождь, будет происходить таким же способом, поскольку можем игнорировать информацию обо всех днях за исключением последнего.

Пример 5.4. Модифицируем задачу: необходимо определить, какой будет вероятность наступления дождливой погоды в субботу и воскресенье. Чтобы ответить на этот вопрос, прежде обозначим через  понедельник – начальный день, и запишем формулы условных вероятностей:

       и    .

Тогда получаем, что


Заметим, что в данном уравнении использовались обозначения ,  и  вместо 1, 2 и 3.

Подытожим основное правило прогнозирования на основе прошлых данных:

-       для проведения расчетов используется только последняя запись о состоянии системы, а информация о ее прошлом не берется во внимание;

-       определяется вероятность перехода в конкретное состояние в следующий момент времени;

-       на основе этой информации определяется вероятность перехода в следующий прогнозируемый момент времени;

-       процедура продолжается до тех пор, пока не достигнем интересуемого момента времени;

-       эти вероятности перемножаются.

Чтобы закрепить полученные навыки построения МВП, рассмотрим ситуацию, когда группа покупателей заходит в торговый павильон и попадает в первый отдел, из которого выйти можно только, перейдя в следующий отдел. Вход и выход из павильона блокируются (см. рис. 5.3).

Рис. 5.3. Схема допустимых путей перемещения покупателей
по торговому павильону

Пусть общее количество покупателей равно N и в определенный момент времени они распределены по всем отделам. В течение заданного периода времени общее количество не изменяется, то есть

.

Предположим, что в один из моментов времени известно, что из покупателей во втором отделе  часть планирует остаться в нем, другая часть – вернуться в первый отдел, а остальные – перейти в третий. При этом не рассматриваем возможность перехода в четвертую комнату, минуя третью. Аналогично известны намерения покупателей, находящихся в данный момент в остальных отделах.

Тогда введем  – вероятность перехода людей из -го отдела в -й отдел. Спрогнозируем рассредоточение покупателей по торговому павильону за один период времени, позволяющий осуществить лишь один переход. Система уравнений имеет вид

 
,

 или в матричном виде

.

При этом

.
Если предположить, что покупатели не запоминают, в каком отделе они уже были, то вероятности  остаются прежними и имеет место равенство

.

Принимая величину

,
получаем
.

Пусть торговый павильон имеет 5 отделов, и выход из него возможен только через пятый отдел (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Схема допустимых путей перемещения покупателей по торговому павильону с пятью отделами

 

Тогда переходы из отдела в отдел описываются следующим уравнением

.

Экономическим примером применения цепей Маркова может служить прогнозирование переходов клиентов от одного брэнда к другому на определенном рыночном сегменте или в розничном торговом предприятии. В данном случае в начальный момент времени известны объемы спроса на каждый брэнд и в результате опроса определены вероятности перехода от одного брэнда к другому.

Категория: Имитационное моделирование | Добавил: kvn2us (27.01.2009) | Автор: Кравченко Владимир Николаевич
Просмотров: 2188 | Комментарии: 1
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]