Главная » Статьи » Студентам » Имитационное моделирование

Критерии Хи-квадрат и Колмогорова-Смирнова. Распределение Пуассона. MathCad и Excel

Критерий согласия Пирсона (Хи-квадрат) и критерий Колмогорова-Смирнова

Задание

В таблице приведены данные по ежедневному числу дорожно-транспортных происшествий в городе:
ПН ВТ СР ЧТ ПТ СБ ВС
  2 3 4 6 4 3
5 4 2 1 4 5 3
4 5 3 5 8 2 2
3 1 3 6 2 1 3
2 7 1        

Приняв уровень значимости alpha=0.05, проверить согласие этих данных обычного месяца с распределением Пуассона, пользуясь критерием Хи-квадрат. Перепроверить данные с помощью критерия Колмогорова-Смирнова, по прежнему принимая alpha=0.05.

Методические указания

Широко используемыми на практике критериями проверки статистических гипотез выступают следующие:
  • критерий согласия Хи-квадрат
  • критерий Крамера-фон Мизеса
  • критерий Колмогорова-Смирнова

Критерий Хи-квадрат предпочтителен, когда исследуются большие объемы выборок. При малых объемах выборок этот критерий практически не пригоден.

Нулевая гипотеза при применении общих критериев согласия записывается в форме 

Н0: Fn(x) = F(x), 

где Fn(x) – эмпирическая функция распределения вероятностей; F(x) – гипотетическая функция распределения вероятностей. 

Критерий Пирсона X2 основан на сравнении эмпирической гистограммы распределения случайной величины с ее теоретической плотностью. Диапазон изменения экспериментальных данных разбивается на k интервалов, и подсчитывается статистика:

Формула Хи-квадрата

где ni – количество значений случайной величины, попавших в i-й интервал; n – объем выборки; F(x) – гипотетический теоретический закон распределения вероятностей случайной величины; pi = F(xi+1) — F(xi) – теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал.

Статистика X2 имеет распределение Хи-квадрат с f = n — 1 степенями свободы в том случае, когда проверяется простая нулевая гипотеза H0, т.е., когда гипотетическое распределение, на соответствие которому проверяется эмпирический ряд данных, известно с точностью до значения своих параметров. 

Правило проверки гипотезы:

если X2 > X2alpha(f

то на уровне значимости alpha, т. е. с достоверностью (1 — alpha) гипотеза

H0 отклоняется. 

На мощность статистического критерия X2 сильное влияние оказывает чиcло интервалов разбиения гистограммы (k) и порядок ее разбиения (т. е. выбор длин интервалов внутри диапазона изменения значений случайной величины). На практике принято считать, что статистику X2 можно использовать, когда npi >= 5. 

Такое приближение допустимо и тогда, когда не более, чем в 20% интервалов имеет место 1 <= npi <= 5.

Одна из рекомендаций по расчету k сводится к вычислению:

k = 1+ 3,32·lg n 

При n >= 200 можно выбирать k из условия

k = 4·{0,75·(n — 1)2}1/5 ≈ 3,78·(n — 1)2/5

Еще одно простое правило: выбрать как можно большее k, но не превышающее n/5:

k <= n / 5 

Критерий Крамера-фон Мизеса дает хорошие результаты при малых объемах выборок (менее 10). Однако вопрос о доверительной вероятности остается нерешенным (эта вероятность мала при значительных размерах доверительных интервалов.
Исходя из этого, полагают, что реальные объемы выборок, которые можно получить, находятся в диапазоне от 10 до 100.

Критерий Колмогорова-Смирнова также целесообразно использовать для выборки указанных объемов в тех случаях, когда проверяемое распределение непрерывно и известны среднее значение и дисперсия проверяемой совокупности.
Алгоритм реализации критерия Колмогорова-Смирнова предполагает использование критического значения Dextr для проверки принятой гипотезы. Для этого используется приведенная ниже табл. 1.

Таблица 1


Решение

1. Критерий Хи-квадрат

1.1. Реализация в MathCad


1.2. Реализация в Excel

Реализация критерия согласия Хи-квадрат Пирсона в Excel

Формулы ячеек на листе Excel представлены в табл. 2.

Таблица 2

Формулы ячеек

Ячейка Характеристика Формула
В15 – число случаев исхода =СЧЁТЕСЛИ($B$3:$H$7;A15)
С15 – вероятность наступления =ПУАССОН.РАСП(A15;$E$11;ЛОЖЬ)
D15 – ожидаемое число случаев исхода =ОКРУГЛ(C15*$H$9;0)
H19 – статистика Хи-квадрат =СУММ(H15:H18)
H23 – критическое значение Хи-квадрата (максимальное значение для заданного уровня значимости) =ХИ2.ОБР(1-H22;H21)
J19 – p-value (вероятность получить расчетное значение Хи-квадрата) =ХИ2.РАСП.ПХ(H19;H21)
J20 – Хи-квадрат тест =ХИ2.ТЕСТ(F15:F18;G15:G18)

 

2. Критерий Колмогорова-Смирнова

Литература

  1. Емельянов А.А., Власова Е.А., Дума Р.В. Имитационное моделирование экономических процессов: уч. пособ. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 368с.
  2. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 816 с. 

© В.Н. Кравченко
Последнее обновление: 2018.11.03

Категория: Имитационное моделирование | Добавил: kvn2us (17.02.2009) | Автор: Кравченко Владимир Николаевич
Просмотров: 18262
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]