Критерий согласия Пирсона (Хи-квадрат) и критерий Колмогорова-Смирнова

Приняв уровень значимости alpha=0.05, проверить согласие этих данных обычного месяца с распределением Пуассона, пользуясь критерием Хи-квадрат. Перепроверить данные с помощью критерия Колмогорова-Смирнова, по прежнему принимая alpha=0.05.

Методические указания

Широко используемыми на практике критериями проверки статистических гипотез выступают следующие:

• критерий согласия Хи-квадрат
• критерий Крамера-фон Мизеса
• критерий Колмогорова-Смирнова

Критерий Хи-квадрат предпочтителен, когда исследуются большие объемы выборок. При малых объемах выборок этот критерий практически не пригоден.

Нулевая гипотеза при применении общих критериев согласия записывается в форме 

Н0: F_n(x) = F(x), 

где F_n(x) – эмпирическая функция распределения вероятностей; F(x) – гипотетическая функция распределения вероятностей. 

Критерий Пирсона X² основан на сравнении эмпирической гистограммы распределения случайной величины с ее теоретической плотностью. Диапазон изменения экспериментальных данных разбивается на k интервалов, и подсчитывается статистика:

где n_i – количество значений случайной величины, попавших в i-й интервал; n – объем выборки; F(x) – гипотетический теоретический закон распределения вероятностей случайной величины; p_i = F(x_i+1) — F(x_i) – теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал.

Статистика X² имеет распределение Хи-квадрат с f = n — 1 степенями свободы в том случае, когда проверяется простая нулевая гипотеза H0, т.е., когда гипотетическое распределение, на соответствие которому проверяется эмпирический ряд данных, известно с точностью до значения своих параметров. 

Правило проверки гипотезы:

если X² > X²_alpha(f) 

то на уровне значимости alpha, т. е. с достоверностью (1 — alpha) гипотеза

H0 отклоняется. 

На мощность статистического критерия X² сильное влияние оказывает чиcло интервалов разбиения гистограммы (k) и порядок ее разбиения (т. е. выбор длин интервалов внутри диапазона изменения значений случайной величины). На практике принято считать, что статистику X² можно использовать, когда np_i >= 5. 

Такое приближение допустимо и тогда, когда не более, чем в 20% интервалов имеет место 1 <= np_i <= 5.

Одна из рекомендаций по расчету k сводится к вычислению:

k = 1+ 3,32·lg n 

При n >= 200 можно выбирать k из условия

k = 4·{0,75·(n — 1)²}^1/5 ≈ 3,78·(n — 1)^2/5. 

Еще одно простое правило: выбрать как можно большее k, но не превышающее n/5:

k <= n / 5 

Критерий Крамера-фон Мизеса дает хорошие результаты при малых объемах выборок (менее 10). Однако вопрос о доверительной вероятности остается нерешенным (эта вероятность мала при значительных размерах доверительных интервалов.
Исходя из этого, полагают, что реальные объемы выборок, которые можно получить, находятся в диапазоне от 10 до 100.

Критерий Колмогорова-Смирнова также целесообразно использовать для выборки указанных объемов в тех случаях, когда проверяемое распределение непрерывно и известны среднее значение и дисперсия проверяемой совокупности.
Алгоритм реализации критерия Колмогорова-Смирнова предполагает использование критического значения Dextr для проверки принятой гипотезы. Для этого используется приведенная ниже табл. 1.

Таблица 1

Решение

1. Критерий Хи-квадрат

1.1. Реализация в MathCad

1.2. Реализация в Excel

Формулы ячеек на листе Excel представлены в табл. 2.

Таблица 2

Формулы ячеек

Ячейка	Характеристика	Формула
В15	– число случаев исхода	=СЧЁТЕСЛИ($B$3:$H$7;A15)
С15	– вероятность наступления	=ПУАССОН.РАСП(A15;$E$11;ЛОЖЬ)
D15	– ожидаемое число случаев исхода	=ОКРУГЛ(C15*$H$9;0)
H19	– статистика Хи-квадрат	=СУММ(H15:H18)
H23	– критическое значение Хи-квадрата (максимальное значение для заданного уровня значимости)	=ХИ2.ОБР(1-H22;H21)
J19	– p-value (вероятность получить расчетное значение Хи-квадрата)	=ХИ2.РАСП.ПХ(H19;H21)
J20	– Хи-квадрат тест	=ХИ2.ТЕСТ(F15:F18;G15:G18)

 

2. Критерий Колмогорова-Смирнова

Литература

1. Емельянов А.А., Власова Е.А., Дума Р.В. Имитационное моделирование экономических процессов: уч. пособ. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 368с.
2. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 816 с. 

© В.Н. Кравченко
Последнее обновление: 2018.11.03