Обозначим переменные:

Требуемое количество материала определяется, исходя из соотношения

  (1)

Затраты на хранение пропорциональны стоимости покупки материала:

Параметр p – это процентная ставка.

Пусть I(t) – объем запасов в момент времени t, m – максимальный объем запасов, s – максимально допустимый размер дефицита, tl – длительность поставки, т.е. промежуток времени от момента заказа до момента получения материала.

Задача заключается в определении q  (и T) и s, при которых общие затраты минимальны.

Динамика уровня запасов схематично представлена на рис. 1

Рис. 1. Динамика уровня запасов

Время восполнения запасов обозначим через , где r –интенсивность восполнения запасов (количество материала, получаемое в единицу времени в течение всего периода). Тогда

Максимальный уровень запаса m задается уравнением:

Тогда используя два предыдущих уравнения, получим

Средние совокупные затраты в единицу времени составят:

  (2)

Затраты на хранение и потери от недостаточного количества материала зависят от среднего уровня запасов и среднего уровня дефицита, которые рассчитываются соответственно по формулам:

где

  

Поскольку

то

Следовательно

   (3)

Подставляя уравнения (2) и (3) в уравнение (1), получаем:

   (4)

Если дефицит допускается, то точка (q*, s*) вогнутой функции µ(q, s) находится путем решения системы уравнений частных производных:

В результате получаем

Если нехватка материала не допускается (s = 0), уравнение (4) принимает вид:

Решая уравнение

формула оптимального размера заказа примет вид

Функции величин затрат представлены на рис. 2

Рис. 2. Величины затрат, как функции от q