Главная » Статьи » Студентам » Имитационное моделирование
5.3 Характеристики простейшего потока событий (окончание)
начало

Перейдем к определению функции pk(t) при k>0.
Разобьем период времени (0,t) на произвольное число n>k  равных частей длины .
Относительно расположения поступления клиентов в этих частях возможны две гипотезы:
H1 –    ни в одном из n промежутков не поступит более одного клиента;
H2 – хотя бы в одном из n промежутков поступит более одного клиента.
Тогда вероятность pk(t) равна сумме вероятностей двойного события:
                     (11)
Двойная вероятность P(Hi, k) включает вероятность реализации гипотезы Hi и одновременно вероятность того, что за период (0,t) поступает k клиентов. Таким образом P(H1, k) – вероятность того, что во всех частях n периода (0,t) не поступит более одного клиента, при этом общее количество клиентов за данный период составит k. Следовательно, насчитывается k из n частей, которые содержат по одному поступлению клиента, а в оставшихся (n – k)  временных промежутках клиенты не поступают.
Чтобы определить вероятность появления по одному клиенту в k из n промежутках времени, необходимо воспользоваться биномиальным законом распределения:
            .  (12)
В силу формулы (10) и однородности данного потока получаем, что при   и k=const
                   (13)
и
            , (14)
где       – вероятность того, что за промежуток времени длины  поступит по меньшей мере два клиента:
                      (15)
            при  ().       (16)
Тогда уравнение (14) примет вид
    .        (17)
Подставим (13) и (17) в (12) и упростим его:
           
           
            (18)
            .
Так как для отдельного промежутка времени вероятность появления более одного клиента есть , то вероятность того, что по меньшей мере один из n промежутков содержит более одного клиента (то есть выполняется гипотеза H2 составит . Очевидно
            .         (19)
Таким образом,
            .    (20)
Так как pk(t) не зависит от n, то, исходя из равенства (11), получаем
            .           (21)
Вывод: для простейшего потока число поступлений клиентов в промежутке времени длины t распределено по закону Пуассона с параметром . На рис. 5.9 представлен трехмерный график функции pk(t) из уравнения (20) для  (t=1,2,…,30).
 
Рис. 5.9. Трехмерный график функции pk(t), где
 
Различие двух простейших потоков заключается только в разных значениях параметра .
Пусть w(t) – вероятность того, что за промежуток времени t поступит по меньшей мере одна заявка:
         ,     (22)
где       – вероятность поступления по меньшей мере двух заявок за промежуток времени t.
Мы знаем, что для простейшего потока с параметром
            . (23)
Отсюда следует, что
            .        (24)
Параметр потока вычисляется по формуле
            .        (25)
Подобный предел существует у любого стационарного потока и  является важнейшей характеристикой этого потока.
Из теории вероятности известно, что математическое ожидание случайной величины, распределенной по Пуассоновскому закону, равно параметру этого закона, и в нашем случае – . Тем не менее, в этом можно убедиться, рассчитав математическое ожидание количества заявок, поступающих за промежуток времени t:
            ,        (26)
поскольку, из математического анализа известно, что сумма
            ,       (27)
является разложением функции  по степеням (k-1).
Определение 16. Математическое ожидание числа заявок в единицу времени называется интенсивностью данного потока.
Если поток не является стационарным, то рассматривается вероятность . Это та же вероятность поступления k заявок за промежуток времени длины , но уже зависящая от начального момента t. Тогда по аналогии со стационарным потоком вероятность того, что за интервал  поступит по меньшей мере одна заявка
            ,        (28)
Для нестационарного ординарного потока
              (29)
(мгновенное значение параметра).
Пусть  – мгновенная интенсивность в момент времени t, тогда для простейшего потока с переменным параметром имеет место .
Вероятность того, что за промежуток времени t подчиненного распределению B(t), поступит k заявок, равна
            .         (30)
Категория: Имитационное моделирование | Добавил: kvn2us (10.02.2009) | Автор: Кравченко Владимир Николаевич
Просмотров: 2935
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]